Monthly Archives: 2014年02月14日

课程:随机分析2014春

课程已经结束 2014随机分析考试答案 课程:随机分析,2014春,研究生和本科生选修课。 前序课程:微积分,概率论,实分析,测度概率论 时间:1-14周,周一周四8,9节 地点:H2209 答疑时间地点: 教材:自编随机分析引论 序言:随机分析课程是分析的一个部分,主要内容是关于布朗运动的微积分理论,这个理论是日本数学家伊藤清所创立的,在其中做出重要贡献的还有他的日本同行和学生,如Kunita, S.Watanabe,美国数学家J.L.Doob和法国数学家P.A.Meyer等。今天我们知道随机分析理论在许多领域都有重要的应用价值,但是在40年代伊藤创立这个理论时,它仅仅是一个数学概念。数学是研究法则的,而且数学关注的法则大多数起源于数学家自身的思维,也有一些起源于数学家对自然法则的兴趣。有一些起源于思维的数学最终可以找到对应的自然法则,比如Riemann几何与广义相对论,还有就是随机分析与金融市场的法则。 通常积分的意义是面积,它是函数关于长度的积分,一个函数关于另外一个函数的积分称为Stieltjes积分,它的意义自然是面积意义的延伸。我们知道要保证Stieltjes积分有意义,后一个函数不能变化太大,也就是要有界变差。这个理论称为Newton-Leibniz的微积分体系,是大学一年级的基础课。 在1905-1923年这段时间中,尽管概率论的公理体系尚未建立,但测度的概念已经成熟,爱因斯坦1905年的论文以统计力学的观点推导出随机运动的分子的分布密度函数服从热传导方程,也就是说密度是以时间作为方差的正态分布密度。对于物理学家来说这样一个结论就够了,但对于数学家来说还远远不够,数学家需要证明数学上的确存在这样一个随机过程,它是连续的,而且位移服从所知的正态分布。这个结论最终在1923年由Wiener证明,它是概率论中迄今为止最重要的一个随机过程,没有之一。它就是众所周知的Brown运动,其中Brown是英国生物学家,第一次描述微粒在液体表面的不规则运动,类似于分子运动。数学Brown运动是这个运动的数学模型。实际上这是以轨道(连续函数)作为元素的一个空间上的一个概率测度,用来度量轨道的可能性。第一个令人震惊的结果是,从这个概率看,几乎所有的轨道都是“极端震荡的”,也就是说在任何一个时间段上都不是有界变差的,中任何点上都不可导。注意“从这个概率看”这个术语,它告诉我们概率论中要用可能性的观点看问题,“所有轨道”这样的说法是没有意义的。 因此通常按轨道关于Brown运动的积分是没有意义的,随机分析就是要从数学上定义这样的随机积分并赋予它重要的意义。 即使我们可以定义随机积分,却仍然不清楚随机积分的意义所在,它仍然是一个彻头彻尾的数学概念。诚然数学不排斥纯粹的概念,评判数学的标准是美,法则的美。实际上,美的数学冥冥之中与自然的法则所对应,这样的例子俯拾皆是,在随机分析领域再一次得到验证。到1970年左右,金融业的迅速发展,数学方法被引入金融学的一个理由是股票的走势太像Brown运动了,这不是说它就是Brown运动,但除了Brown运动,人们找不到更好的模型来描述股票或者其它金融产品的价格规律。如果这样的话,那么随机积分可以看成为对于该资产的投资收益,因此金融领域的诸多创新和实验都可以在随机分析理论中得到再现,使得整个随机积分理论有了一个璀璨的灵魂。 课程重点: 1. 条件期望的定义和性质 2. 鞅论:Doob 基本定理,鞅不等式,鞅收敛定理 3. Brown 运动, 定义和性质,二次变差 4. 随机积分,定义和刻画,半鞅 5. Ito 公式及其应用

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青旅之旅(一):2014年冬

时间真快,2014年了,年龄啊,我都快不敢相信了,时间都去哪里了。过年前,我想着假期开车去福建广东广西走走,那里很多地方没有去过,但是种种原因没有去,陪父母过年,车况不大好,时间不容易安排,身体也不在状态,实际理由只有一个,就是心里不大想去了。好像是罗曼罗兰的小说里有句话 “在你想做还是不做的时候,实际上你心里已经有决定了”。 大年27就到老家陪父母,打打麻将,手气也不好,这一年一直是输,当然也应该的,算孝敬二老了。和浙江许多其它城市一样,诸暨是一个半工业化了的城市,到处是工厂,到处是车,到处是建筑工地,也到处是灰尘污染,大多数人都很满足,而且诸暨人本来就爱吹嘘,现在有车有房,看起来比全国大多数地方生活条件都要好,所以那还不是象烟花一样吹到天上去了,哪管子孙后代以后怎么办?村子在县城附近,大高楼已经建到门口了,差不多算是城中村了,村里很多人由于土地都很有钱,天天搓麻将等下一次拆迁补偿,虽然有钱了,村子也建起了小区,却显得破破烂烂,到处是垃圾,车子乱停乱开,有停在路中间,有停在草地上,没人愿意遵守规则。隔壁凤山村更是脏乱差,垃圾站直接延伸到路上,臭气冲天,还好现在是冬天,不知道人为什么能够忍受这样的环境作为家园。其实把一个村子弄得整齐一点也不是很难吧,前几天从建德回诸暨时在富阳下高速,误入一个村子名为清园村,在一个山脚下,这个小村搞得很精致很干净,生活在那里的人们一定会很愉快吧。 老家的马路对面是一个完成了七八成的购物中心,据说是县城里最大的,里面新开了星巴克,刚刚年前开业,我们也去了两次,但每天下午都是人满为患,排队排到大门口,诸暨也进入星巴克时代了,有些感慨!当年我小时候去县城要徒步五里路,印象中的小城就只有一条河,一座桥,一条街,一家百货店,一家书店,一家电影院。不过诸暨和其他县相比的一个优势是它在浙赣线上,有个火车站,在很多人还没见过火车的年代我们坐上火车就可以直达上海北京天津。 虽然可以享受口舌之快天伦之乐,但老家毕竟太热闹了,我还是不很喜欢,初一我们就回到杭州。初二天气很好,我们骑车围着西湖大景区走了一圈,40多公里,走走停停化了6个小时,算我买了好车后骑得最远的一次,证明了一件事情,体力不怎么样,需要锻炼。初三起来,我们觉得应该去哪里玩玩,远的不去就附近吧,否则就辜负了高速免费的一片心意,就找有青旅的地方去吧,一般青旅都在一个景点附近,白天在附近走走,晚上在青旅的大厅内坐坐,感觉还是很有味道的,因此我上网查附近哪些地方有国际青年旅舍,就是yhachina, 一查,绍兴有两家,新昌有一家,马上打电话过去,绍兴兰亭的一家停业搬家了,市区的一家比较热门,假期里都满了,但新昌的那家当天还有房间,我们立刻出发,开车两个多小时到新昌,新昌的这家青旅在汽车西站附近的一个角落内,好像不像一般青旅应该在的位置,一栋很土的楼,楼好像是原来的农民豪宅改的,三层,背后是一块硕大的空地,现在是个菜园,比较偏,离市中心有些距离,我们的那个房间很小很干净,有个落地的八角窗,卫生间太小,转不过身,价钱不便宜,要160元,感觉不是很值,当然住青旅也就不要在意价格了,青旅一楼是交流大厅,也是一个酒吧,还可以唱歌,晚上很吵,敲锣打鼓一直到12点,好在我们住3楼,还可以忍受。对这家青旅我的评价是“一般”。新昌是绍兴下面一个更小的县城,以前交通不便,所以是很闭塞的地方,现在通高速,适逢新年,街上也没有什么店开业,城里有个大佛寺,城外有个什么19峰,以前学校组织去过,当然我对景点完全没有兴趣,对我来说,旅游就是走走看看坐坐,感觉好就留不好就走。第二天起来决定走,这里离溪口宁波不远,就去那里看看,正好以前没有去过,溪口是个很不错的小镇,游客很多,蒋的老家是个大宅,前面是一条河流,这样地方出来的人的心肯定不会太狠的,斗不过韶山那个小水塘边茅草屋里出来的人也可以理解。 到宁波先去看看新建的宁波博物馆,说是乡土建筑风格,建筑很有特色,但博物馆的展品就一般了,三楼有一个不错的茶馆,茶不错,但咖啡是速溶的,还有免费的wifi,我们在那里休息了一个多小时,天色已经晚了,索性就住在宁波老城区的月湖旁边的一家如家,价格好像是200,宁波没有青旅,这里也算不错了。月湖类似于杭州的西湖,小得多,沿湖走一圈不要一个小时,周围有不少整修过的老建筑,很有看头,月湖上有个小岛,上面是宁波二中,很漂亮,看得我眼热,到这里当老师应该很舒服啊。如家不远处有一家豆花店,里面的豆花味道真的不错,价钱实惠,7,8元一碗,我吃了好几碗。宁波的象山是我外婆家,虽然从小没见过外婆,但小时候常去,那时交通不便,每次去都要在宁波周转一个晚上,尽管如此,对宁波还是没什么印象了,这次重游宁波,聊补以往的遗憾。 初十8号下雪了,但10号起床时天气很好,太阳出来了,尽管天气还是很冷。我给绍兴的青旅打电话,这次有房间,我马上吃了早饭,驱车走104国道到绍兴,这家青旅在鲁迅故居景区的西门,咸亨酒店不远处,新建南路上,说是新建南路,其实是个无法通车的小巷,车子可以停在咸亨酒店的地下停车场。绍兴大概只有这么一片旧街了,有些文化遗迹,鲁迅故居,周恩来故居,秋瑾故居,青藤书屋等,更多的已经灰飞烟灭。这片区域还住着居民,中间还夹着些中高层的住宅,有人住的老建筑大多都破败,那些小巷都伴着一条小河,大家都可以想象一下以前水乡的模样。青旅称为老台门青旅,是由几个老房子的院子组成的,分ABC三个区域,我住的B108房间也很小,一张床就站了一大半地方,好在青旅的活动地点在大厅,但卫生间不小,装修也不错也干净,浴室和卫生间有玻璃隔开,价钱138算便宜,它的大厅是一个玻璃房,有简餐可吃,价钱不算贵,一碗炒饭一碗面条都是10块钱,但是早餐坑人,说是法式,两个鸡蛋,两片面包,两根香肠,26块。大厅还有电脑可以使用,综合说来,这个青旅的评价应该是优秀了,下次可以再来。我到青旅的时间是下午2点,手机已经没电了,这个烦人的手机,我在大厅坐了一个小时,给人和手机都充了点电,就出去围着这个区域以及里面的小巷走了一圈,鲁迅故居现在可以免费参观,不过我也不想看了,景点如同圈养的宠物。景点也是一条东西向的古街,说是古,其实看上去大部分的建筑都是新造的,中国古建筑的材料很难让建筑能够长久保持,一般的建筑能住个70年就不错了。那条街上到处都是臭豆腐摊,我在青旅对面的一家小店要了一份臭豆腐尝尝,挺便宜的,5块钱一碗,不过也吃不出什么特色。西门出去是鲁迅中路,几百米可以走到解放路,这路口就是一家星巴克一家必胜客,这家星巴克一半还在地下,我也去坐了会儿。

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