课程:随机分析2014春

课程已经结束 2014随机分析考试答案

课程:随机分析,2014春,研究生和本科生选修课。

前序课程:微积分,概率论,实分析,测度概率论

时间:1-14周,周一周四8,9节

地点:H2209

答疑时间地点:

教材:自编随机分析引论

序言:随机分析课程是分析的一个部分,主要内容是关于布朗运动的微积分理论,这个理论是日本数学家伊藤清所创立的,在其中做出重要贡献的还有他的日本同行和学生,如Kunita, S.Watanabe,美国数学家J.L.Doob和法国数学家P.A.Meyer等。今天我们知道随机分析理论在许多领域都有重要的应用价值,但是在40年代伊藤创立这个理论时,它仅仅是一个数学概念。数学是研究法则的,而且数学关注的法则大多数起源于数学家自身的思维,也有一些起源于数学家对自然法则的兴趣。有一些起源于思维的数学最终可以找到对应的自然法则,比如Riemann几何与广义相对论,还有就是随机分析与金融市场的法则。

通常积分的意义是面积,它是函数关于长度的积分,一个函数关于另外一个函数的积分称为Stieltjes积分,它的意义自然是面积意义的延伸。我们知道要保证Stieltjes积分有意义,后一个函数不能变化太大,也就是要有界变差。这个理论称为Newton-Leibniz的微积分体系,是大学一年级的基础课。

在1905-1923年这段时间中,尽管概率论的公理体系尚未建立,但测度的概念已经成熟,爱因斯坦1905年的论文以统计力学的观点推导出随机运动的分子的分布密度函数服从热传导方程,也就是说密度是以时间作为方差的正态分布密度。对于物理学家来说这样一个结论就够了,但对于数学家来说还远远不够,数学家需要证明数学上的确存在这样一个随机过程,它是连续的,而且位移服从所知的正态分布。这个结论最终在1923年由Wiener证明,它是概率论中迄今为止最重要的一个随机过程,没有之一。它就是众所周知的Brown运动,其中Brown是英国生物学家,第一次描述微粒在液体表面的不规则运动,类似于分子运动。数学Brown运动是这个运动的数学模型。实际上这是以轨道(连续函数)作为元素的一个空间上的一个概率测度,用来度量轨道的可能性。第一个令人震惊的结果是,从这个概率看,几乎所有的轨道都是“极端震荡的”,也就是说在任何一个时间段上都不是有界变差的,中任何点上都不可导。注意“从这个概率看”这个术语,它告诉我们概率论中要用可能性的观点看问题,“所有轨道”这样的说法是没有意义的。

因此通常按轨道关于Brown运动的积分是没有意义的,随机分析就是要从数学上定义这样的随机积分并赋予它重要的意义。

即使我们可以定义随机积分,却仍然不清楚随机积分的意义所在,它仍然是一个彻头彻尾的数学概念。诚然数学不排斥纯粹的概念,评判数学的标准是美,法则的美。实际上,美的数学冥冥之中与自然的法则所对应,这样的例子俯拾皆是,在随机分析领域再一次得到验证。到1970年左右,金融业的迅速发展,数学方法被引入金融学的一个理由是股票的走势太像Brown运动了,这不是说它就是Brown运动,但除了Brown运动,人们找不到更好的模型来描述股票或者其它金融产品的价格规律。如果这样的话,那么随机积分可以看成为对于该资产的投资收益,因此金融领域的诸多创新和实验都可以在随机分析理论中得到再现,使得整个随机积分理论有了一个璀璨的灵魂。

课程重点:

1. 条件期望的定义和性质

2. 鞅论:Doob 基本定理,鞅不等式,鞅收敛定理

3. Brown 运动, 定义和性质,二次变差

4. 随机积分,定义和刻画,半鞅

5. Ito 公式及其应用

About 应坚刚

Room 1406/65643951
This entry was posted in 未分类. Bookmark the permalink.