暑期课程:Brown 运动

参考书:随机过程基础,http://homepage.fudan.edu.cn/resources

共九讲,每讲3课时。

第一讲:预备知识

概率空间,概率测度的性质,单调类方法,极限与期望的交换,一致可积性,条件期望的背景和定义,性质

第二讲:随机过程

条件期望的性质与计算,随机过程的定义,修正,分布是无穷维空间上的概率测度,有限维分布族,Brown运动的定义,Brown运动的存在性(一):有限维分布族的构造,Kolmogorov定理

第三讲:Brown运动构造

Kolmogorov定理的证明: 先利用相容性在柱集上构造测度, 然后证明这个测度满足上连续性, 由 Caratheodory 定理推出测度可以扩张. 再应用正态分布的性质证明这个过程有一个连续修正正是 Brown 运动. Brown 运动的 Gauss 过程刻画, 自相似性, 时间逆转.

第四讲:  Brown 运动的鞅性质

介绍流的概念, 适应和可积的概念, 随机时间和停时的概念, 介绍鞅的概念, 鞅的 Doob 抽样定理(无证明), 由 Brown 构造的鞅, 指数鞅, 指数鞅可以刻画 Brown 运动, 鞅方法算 Brown 运动的停时的分布: 一维 Brown 运动是否一定可以碰到一个点?

第五讲: 强马氏性

单边稳定过程, Cauchy 过程, 强马氏性的叙述与证明, Brown轨道的零点的性质, 占有时的分布, 公开问题.

第六讲: 位势性质

反射原理, Blumenthal 0-1 律, 精细开集闭集,精细topology由过程确定,各种与过程相关的小集:极集,半极集,位势零集等。再证明2-维以上Brown运动不能遇到单点,

 

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