新生学数学

还有一个月就要开学了,数学系会迎来很多新生,都是对数学很有兴趣的学生,第一年大学里主要是学习数学分析和高等代数,很多同学自然地适应了,也有很多同学不适应,学不好,也不知道该怎么使劲,学习热情就消退了,自信心也受到打击。那么大学数学究竟应该怎么开始?我根据自己的经验提以下几个建议:

1. 大学数学是非常系统性的,逻辑顺序非常明确,像一棵树,前后关系清清楚楚。这和中学不同,在中学,老师讲的很多东西你都是会用,但不知道为什么,比如你知道根号2是无理数,但是你能说清楚为什么吗?又比如你知道指数函数,但你知道根号2的根号2次方是怎么定义的吗?在大学不一样,每一个结论都是要严格证明,不能证明的老师也会明确说明并以后证明,所以学生应该努力去理解数学的逻辑之树。大部分中学的数学知识在大学时期是没有用的,当然你的领悟还是有用的,一些基本的函数和运算规则也是有用的。所以大家基本上都是在同一条起跑线上。

2. 大学数学学习要注意理解概念和概念之间的联系,你要反复读一个概念,读懂它的数学表达,比如有界,有界的直观意思不难理解,但是数学上有严格的表达:如果存在一个常数M,使得集合A中的任意数 a 都有 |a|<=M,我们说 A 是有界的。读这个概念的时候,关键是注意M是预先存在的,而不是对每个 a 有一个 M. 这样直观和数学表述就一致了。理解了有界还不够,还需要理解并数学地表述不有界或者无界是什么意思(这里注意不有界和无界的区别,不有界是否定一个概念,不算一个新概念,是说“不是有界”的,无界是一个新的概念,需要定义:不有界的集合称为无界,还有如 “不是有理数的数称为无理数”)。理解了概念还要理解概念之间的联系,比如收敛也是一个重要概念,那么收敛和有界会不会有什么关系呢?那么你通过几个例子自然会发现收敛一定有界,而有界未必收敛。然后你就要想办法证明它或者举反例反驳它。高等代数的概念更多更陌生,大家更应该小心,但战略上要藐视,说穿了,大学一年级的数学都是很简单的,别被一棍子打懵了。

3. 大学数学的主要目的不是做难题,而在于理解数学这个体系,它怎么提出来的?为什么存在?有什么美妙的东西?考试的大部分题目不难都是基本的,所以及格应该不难,当然也可能有一个两个难题,想要拿A不容易,需要多很多思考练习,还要做难一点的问题,但是做问题的目的还是为了理解,而不是反过来。但对于起步感到困难的学生,也不必气馁,保持自己的自信心,每个人的才能不同,而不是不如。无论如何,先应该踏实地应对,学好简单基本的东西,保证让自己不挂科。

4. 养成一个好的学习习惯很重要,什么是好的习惯?当然每个人理解不同,我的建议是从认真地写清楚自己会做的或者看起来很白痴的问题开始,认真地,一步一步地,检查每一步的逻辑。比如写根号2是无理数的证明,你就需要理解什么是有理数,证明证明一个数不是有理数,等等,这样你就搞清楚很多原本你不清楚的问题。我发现有很多同学都是看一个题目,然后在草稿上随便划划,感觉想通了,就看下一个,这是不好的习惯,因为你这样做习题等于是入宝山而空手回。如果你好好地写,你本来可以从这些习题收获一座宝山。认真地写是一种专业精神的培养,也是学习进步的一个关键。到你有一天你发现有的问题你知道怎么证明却无法写出一个让教授满意的证明细节的时候可能就晚了。

学数学是很累的,是大学公认最难学的专业,有挑战性,要有思想准备,觉得考上大学就轻松的同学千万要记住,是你自己选择了数学,咬牙也要坚持下来。学得好的不要骄傲,其实你看看书上那些数学家的名字和他们的定理恐怕就骄傲不起来。学得不好的同学不要灰心,问问自己是不是真的认真学了。家长也不要觉得把孩子送进大学任务就完成了,还需要关心他们的情况,学得好要表扬鼓励,学得不好更要鼓励,不要责备,坐下来和孩子一起好好找找原因。

毕业的学分要求是143个,平均一个学期18个,所以第一个学年两个学期选课不可太多,通常来说,每个学期20个学分左右,不要超过22个学分,保证学好两门基础课:分析与代数。你要留出时间来思考,数学决不是理解课堂上的东西且做好作业就可以了,数学要学好,必须有足够的思考,要想想这些概念的意义,想想定理的条件是为什么,要阅读不同的教科书,不同数学家写的东西有不同的理解不同的特点,多阅读可以帮助进一步真正地理解数学的本质,一旦你理解了本质,数学的一切都是非常自然的,如行云流水,那时你会觉得学数学是一种快乐。

能进复旦数学学院的学生都是中学里最好的学生,他们在各自的学校都是天之骄子,但是到复旦,还是会有差别,无非四类:一类是有兴趣又学得轻松的,这部分学生当然应该好好学,理想是做一个像 Cauchy,Riemann, Galois 那样的数学家,复旦数学未来的学术(jianghu)地位要靠你们;第二类是学得不错但对数学兴趣缺缺的,那要看自己有没有其它明确的目标,有就果断转过去,没有的话就暂时这么学着,等将来目标明确再说,但学业不能放松,成绩好自己才有选择的自由,成绩不好自己就没有什么选择权;第三类是很有兴趣学得努力但效果不好,那就好好总结,hang-up, 也许有一天你会开窍的,不能开窍也没办法,学到点数学的解决问题的方法找个工作还是不难也能胜任的;最后一类是没兴趣且学不好的,能转专业最好,不能转那就hang-up吧,  从再基本的学,做最基础的题,努力理解,争取毕业,然后凭复旦的牌子干吧,也许干出另外一个马云来,以后在数学学院捐个奖学金。

很快一年或许只要半年,你就差不多知道你是哪一类了。

About 应坚刚

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